Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1. a) Décomposer $X^4+1$ en polynômes irréductibles dans $\R[X]$ en remarquant que $X^4+1 = (X^2+1)^2-2X^2$.
    b) Décomposer en éléments simples $\dfrac{1}{X^4+1}$.
    c) Existence et calcul de  $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{4n+1}$.

2. Résoudre l'équation matricielle suivante d'inconnue $M\in \mathfrak M_n(\R)$ :

                                  $M(M^TM)^2=I_n$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Question 1.b) :  on pourra penser à regarder en $i$.

Commentaires divers
 L’examinateur m’aidait à accélérer le rythme notamment durant la décomposition en éléments simples et la résolution de l’équation matricielle en me suggérant d’approfondir mes recherches sur $M^{-1}$.