Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Année : 2025

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Diagonalisabilité

Énoncé(s) donné(s)

Soit $n\in \N^*$ et $A\in \mathfrak M_n(\R)$. On définit $\varphi_A$ endomorphisme de $\mathfrak M_n(\R)$ par :

$\forall M\in \mathfrak M_n(\R),\ \varphi_A(M)=AM$.

On définit aussi : $\Phi:\begin{array}[t]{rcl}\mathfrak M_n(\R)&\longrightarrow &\mathcal{L}(M_n(\R))\\A&\longmapsto &\varphi_A\end{array}$.

On pourra utiliser librement le fait que que $\Phi$ est un morphisme d'algèbre.

1. Déterminer le noyau de $\Phi$.

2. Soit $P\in \R[X)$. Trouver $B\in \mathfrak M_n(\R)$ telle que $P(\varphi_A)=\varphi_B$.

3. A quelle condition sur $A$, $\varphi_A$ est-elle diagonalisable?

4. ? oubli.

5. ? oubli

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Epreuve Orale 8903