Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

 Un homme peint un mur en étant placé sur un échafaudage, des passants passent sous son échafaudage et ont chacun une probabilité $p\in\left]0,1\right[$ de se faire toucher par une goutte de peinture. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes touchées en une journée et $Y$ celui du nombre de personnes qui ne sont pas touchées. On suppose que $n$ personnes passent dans la journée.

1.  Donner les lois de $X$ et $Y$, puis définir si $X$ et $Y$ sont indépendantes.      
2. On suppose maintenant que $N$ personnes passent dans la journées et que $N$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$.
    Donner les lois de $X$ et de $Y$, puis l'espérance et la variance de $X$.                     
3. Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes.                            
4. Calculer  $\text{Cov}(X,N)$. Les variables $X$ et $N$ sont-elles indépendantes ?        

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers