Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 :

Soit $f \in \cal C^0(\mathbb R^+, \mathbb R)$ décroissante et intégrable. Montrer que $xf(x) \overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0$.

Exercice 2 :

Soit $A \in \cal S_n^{++}$ et $B \in \cal S_n^{+}$.

1. Montrer que la fonction $\displaystyle f : X \in \mathbb R^n \mapsto \frac{X^TBX}{X^TAX}$ admet un maximum $M$ et un minimum $m$.

2. Montrer qu'il existe $V$ tel que $A = V^2$.

3. Montrer que $A^{-1}B$ est diagonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 1 :

Commencer par montrer que $f(x) \overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0$.

Exercice 2 :

1. Se placer dans un compact.

3. Se servir de $A=V^2$.

Commentaires divers

Il y avait une question 4, mais je ne m'en rappelle plus.