Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 : Soit une fonction $f:\R_+\to\R$ continue et dérivable en $0$ telle que $f'(0) = f(0) = 0$. On définit la fonction $g$ telle que $g(0) = 0$ et $\displaystyle g(x) = \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt$ pour tout $x > 0$. 

1) Montrer que $g$ est continue en $0$. 

2) Montrer que $g$ est dérivable et calculer sa dérivée. 

Exercice 2 : Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre $p$. On pose $U = \max (X,Y)$ et $V = \min (X,Y)$.

1) Calculer $P(X\geq k)$ pour tout $k\in\N^\ast$. Interpréter. 

2) Trouver les lois de $U$ et de $V$. 

3) Calculer l'espérance de $U$. Interpréter. 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la question 2), l'examinatrice m'a indiqué que la variable aléatoire U suivait une loi géométrique dont elle m'a demandé de déterminer les paramètres. 

Commentaires divers

Examinatrice plutôt exigeante, qui attendait une interprétation construite et développée pour les questions 1) et 3) de l'exercice 2.