Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $ n \geqslant 2 $  et $ u \in \mathcal L(E) $.

On suppose que les 2 seuls sous-espaces stables par $u$ sont $ \left\{0_E  \right\} $ et $E$.

1) Que dire du spectre de $u$ ?

2) Soit $ x \in E $ \ $\left\{0_E  \right\} $. Montrer que $ \bigl(x,u(x), ..... , u^{n-1}(x) \bigr) $ est une base de $E$.

3) Ecrire la forme de la matrice de $u$ dans cette base.

4) Montrer que la matrice ne dépend pas de $x$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers