Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

On pose $F : x \longmapsto \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\ln(1+xt)}{t} \mathrm{d}t$.

1. Montrer que $]-1;1[ \subset \mathcal{D}_{F}.$ 
2. Montrer que $F$ est développable en série entière et exprimer ce développement.
3. Justifier la dérivabilité de $F$ sur $]0;1[$.
4. Déterminer $F'$ sous une forme simple. 
5. Trouver $F'$ à l'aide d'une autre méthode.  

$\ex 2$

Soit $A \in \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb R\right)$ telle que $A^2-5A+6I_{n} = 0$. 

1.  Donner 2 CNS de diagonalisabilité.
2. Justifier que $A$ est diagonalisable et que Sp$(A) \subset \{2;3\}$.
   Soit $D = $ diag$\left( 2, \dots, 2, 3, \dots, 3 \right)$. Soit  $f: \begin{array}{rcl}
   \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb R\right)&\to& \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb R\right)\\
   M &\mapsto &MD+DM
   \end{array}$.
3. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb R\right)$.

Il y avait une dernière question mais je ne m'en rappelle plus :(

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers