Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

1. Calculer \[
       \mathrm{Card}\,\Big\{ (A,B)\in \mathcal{P}(\{1,\dots,n\})^2 \; ; \; A \subset B \Big\}.
       \]
2. On choisit au hasard deux parties $A$ et $B$ de $\{1,\dots,n\}$. Quelle est la probabilité que l’une soit incluse dans l’autre ?

$\ex 2$

Soit $n \geq 2$. On pose
\[
I_n = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{-nx} - e^{-2nx}}{\sin(x)} \, dx.
\]

1. Montrer que $I_n$ est bien définie.
2. Soit  \[
       J_n = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{-nx} - e^{-2nx}}{x} \, dx.
       \]
   Montrer que $I_n - J_n \longrightarrow 0$ quand $n \to +\infty$.

Il restait une question.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers