Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$.
Soit $U_{n}$ la matrice carrée de taille $n$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$.

$1)$ Sans calculer de déterminant, trouver les valeurs propres de $U_{n}$ avec leur multiplicité.

$2)$ Soit $(e_{i})_{1\leqslant i\leqslant n}$ la base canonique de $\mathbb{R}_{n}$.
On définit $\forall i\in [\![2,n]\!],\, f_{i}= \sum_{k=1}^{i-1}\frac{1}{i-1}e_{k}-e_{i}$.
Montrer que $(f_{i})_{2\leqslant i\leqslant n}$ est une base orthogonale de sous-espaces propres associés à $0$ de $U_{n}$ pour le produit scalaire canonique.

$3)$ En déduire une base orthonormée de $U_{n}$.
Donner la formule de diagonalisation de $U_{n}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers