Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Pour $n\in\N^*$, on pose $\quad \displaystyle u_n(x)= (-1)^n\, \frac{e^{-nx}}n$.

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction somme $\displaystyle S : x\longmapsto \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$.
2. Montrer que la fonction somme $S$ est continue sur son domaine de définition.
3. Montrer qu'elle est de classe $C^1$ sur $\R_+^*$.
4. Pour tout $x$ du domine de définition, calculer explicitement la somme $S(x)$.
5. Montrer que la fonction $S$ est intégrable sur $[0,+\infty[$.
6. Calculer l'intégrale $\int_0^{+\infty} S(x)\, dx$ et montrer qu'elle vaut $\pi^2/6$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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