Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Il y a un schéma représentant une cathode (un fil) et une anode, un cylindre creux de rayon $R$ autour du fil. Règnent un champ $\overrightarrow{B} = B \vec{u}_z$ parallèle au fil et un champ $\overrightarrow{E} = -E\vect{u}_r$ axipète.
Par effet thermo-électrique (il me semble), la cathode émet des électrons de charge $q$ masse $m$ et vitesse initiale négligeable.
1) Rappeler l'expression de l'accélération d'un électron assimilé à un point matériel en coordonnées cylindriques. Montrer que $a_\theta = \dfrac{1}{r}\times\dfrac{\mathrm{d}(r^2\dot{\theta})}{\mathrm{d}t}$.
2) Établir trois équations sur le mouvement de l'électron.
3) Que dire de la cote de l'électron $z(t)$ ?
4) Si $\theta(0) = 0$ calculer $\theta(t)$, on fera apparaître une vitesse angulaire $\omega$.
5) En déduire $r(t)$.
6) Écrire $r$ en fonction de $\theta$. Quelle est la trajectoire de l'électron?
7) Modifier le script pour faire apparaître l'anode et la trajectoire de l'électron.

8) Quelle condition faut-il sur $B$ si $E$ est constante pour que l'électron tape l'anode ?
9) Calculer $\|\vec{v}(t)\|$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Question de l'examinateur : le fait que $\|\vec{v}(t)\|$ soit constante est-il étonnant?

Commentaires divers

On nous donnait un script contenant une partie données avec des valeurs numériques de $E$ $B$ etc... Une partie à compléter, il fallait remplir les tableaux de $\theta$ et $r$ et la partie matplotlib affichant une vue du haut de la situation ($r$ en fonction de $\theta$) était déjà complétée.

Je n'avais pas fait le programme python lors de la préparation mais ai pu le faire au cours de ma présentation.