Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$    Exercice n° 95 de la Banque CCINP.

$\ex 2$

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 4.

1. Énoncer le lemme des noyaux pour deux polynômes.

2. Soit $f$ un endomorphisme de $E$ tel que son polynôme minimal s'écrive : $P(X) = (X^2+1)(X^2+4)$.
    Montrer qu'il existe $x,y$ non nuls dans $E$ tels que $f^2(x)=-x$ et $f^2(y)=-4y$.

3. Montrer que la famille $( x, f(x), y, f(y) )$ est une base de $E$.

4. Exprimer la matrice canoniquement associée à $f$ dans cette base.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers