Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

On définit la suite de fonctions $(U_n)_{n \in \N}$ par :$\forall n \in \N^*, \ \forall x \in \R,\ U_n(x)=\frac {{(-1)}^nx^n}{n}$

On s'intéresse à $\sum_{n\geq 1} U_n$

     1. Étudiez la convergence simple de la somme sur $\R$. On notera $D$ son domaine de convergence et $S(x)$ la limite en chaque point $x$ de ce domaine.

     2. a. $S$ est elle continue ?

         b. Étudiez la convergence Normale sur $D$. De même pour la convergence Uniforme.

         c. Étudiez la convergence uniforme sur $[0,1]$