Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

On définit les matrices :

$N = \left(\begin{array}&0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)$ et $T=\left(\begin{array}&1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right)$

Ainsi que $C(N) = \{ M \in \mathbb{M}_3(\R), \ NM=MN\}$.

1. Montrez que $C(N)$ est un espace vectoriel. Déterminez le.

2. Montrez que $N$ est un polynôme de degré 2 en $T$.

On définit $E= \{ M \in \mathbb{M}_3(\R), \ M^8 = T\}$.

3. Montrez que $\forall M \in E$, $M$ est un polynôme en $N$.

4. Déterminez $E$

Indications de l'examinateur :

Question 3 : Montrez que $M \in E \Rightarrow M \in C(N)$