Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $n \geqslant 2$ et $\K$ un sous corps de $\C$.

1. a) Énoncer le théorème de la division euclidienne dans $\K[X]$.
    b) Soit $P\in\K[X]$ et $a\in\K$,. Donner le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$.
    c) En déduire une caractérisation des racines de $P$.

2. Posons $T_n = X^n - X + (-1)^n$ . Quel est le nombre de racines de $T_n$ dans $\Q,\ \R,\ \C$ ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers