Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

Pour tout réel $x$, on pose $\lfloor x\rfloor$ la partie entière de $x$ et $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$, la partie décimale.

1. Soit $f \in \mathscr{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,

   $$
   \sum\limits_{k=1}^{n-1} f(k)=\int_1^n f(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2}(f(1)-f(n))+\int_1^n\left(\{x\}-\frac{1}{2}\right) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x
   $$

    

2. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $u_n=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \mathrm{e}^{2 i \pi \ln k}$. La suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge-t'elle?

Exercice 2

Trouver l'ensemble des polynômes $\mathrm{P} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}]$ tel que $\forall \mathrm{A} \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R}), \mathrm{P}(\mathrm{A}) \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 1 : J'ai écris $nu_n$ avec la question 1. L'examinateur m'a demandé : peut on majorer ?

Exercice 2 : L'examninateur m'a fait étudier le cas $n=2$.

Commentaires divers