Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Particule dans un puits de potentiel harmonique.

Une particule est maintenue captive dans un puits de potentiel harmonique de pulsation $\omega _0$. Cela équivaut à un potentiel $V(x)=\frac 1 2 m \omega_0^2 x^2$. Les niveaux d'énergie de cette particule sont quantifiés avec $E_n = \hbar \omega_0 (n+ \frac 1 2), \forall n \in \N$. La fonction d'onde associée à une particule dans l'état fondamental $E_0$ est :$$\Psi(x,t) = A\exp\left(- \frac {m \omega_0^2 x^2}{2\hbar}\right)\exp\left(-i\frac {E_0 t}{\hbar}\right)$$

1. Utilisez la condition de normalisation pour trouver l'expression de $A$.
2. Utilisez l'équation de Schrödinger pour retrouver l'expression de $E_0$.
3. Tracez l'allure de la courbe de densité linéique de probabilité, justifiez sa forme, puis justifiez sans calcul que la position moyenne $\langle X \rangle = \ 0$.
4. Calculez l'indétermination sur la position $\Delta X$.
5. Lorsque le système est à une température $T$, on a de plus une indétermination sur la position dûe à l'agitation thermique $\Delta X_T= \sqrt{\frac {k_B T}{E_0}}$ :

• • À partir de quelle température $\Delta X_T$ est supérieure à l'indétermination trouvée précédemment ?

(le sujet comportait deux autres sous-questions pour la question 5...)

Données :

On rappelle L'équation de Schrödinger à une dimension :

$$i \hbar \frac {\partial \Psi} {\partial t}(x,t) = - \frac {\hbar^2}{2m} \frac {\partial^2\Psi}{{\partial x}^2}(x,t) + V(x)\Psi(x,t)$$

Integrales :

$\int_{-\infty}^{+\infty}{x^2\exp(-ax^2) dx}=\sqrt{\frac{\pi}{4a^3}}$

$\int_{-\infty}^{+\infty}{\exp(-ax^2+bx)dx}= \sqrt{\frac{\pi}a}\exp\left(\frac{b^2}{4a}\right)$

On rappelle enfin pour X suivant une distribution de probabilité f :

$\langle X \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)dx}$ et $\Delta X = \sqrt{\langle X^2 \rangle -\langle X \rangle ^2}$.