Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Exercice de la banque n°37.

$\ex 2$

On note $T$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$ défini par :
$$T(P) = (8+3X) P + (X^2 - 5X) P' + (X^2 - X^3)P''$$ 

1. Déterminer l'expression et le degré de $T(X^n)$ pour tout entier naturel $n$. Calculer les 5 premières valeurs de $n$.
2. Montrer que si $P$ est colinéaire à $T(P)$ alors $P$ est de degré $3$.
3. L'endomorphisme $T$ est-il injectif ? surjectif ?
4. Montrer que la restriction de $T$ à $\mathbb{R}_3[X]$ notée $T_1$ définit un endomorphisme sur cet espace vectoriel. Donner la matrice de $T_1$ dans une base choisie.
5. Donner une base de diagonalisation de $T_1$ dans $\mathbb{R}_3[X]$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers