Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$ (Banque exo 31)

1. Déterminer une primitive de $x \longmapsto \text{cos}^4(x)$.

2. Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle : $y'' + y' = \cos^3(x)$ en utilisant la méthode de variation des constantes.

$\ex 2$

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soit $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f^2 = -\mathrm{Id}_E$.
1. Montrer que $f$ est inversible et n'admet pas de valeur propre réelle.

2. En déduire que la dimension de $E$ est paire.

3. Soit $u \in E$. Montrer que Vect$(u, f(u))$ est $f$-stable. 

4. Cas $n = 4$. Montrer qu'il existe $(u,v) \in E^2$ tels que $(u, f(u), v, f(v))$ soit une base de E.

5. Généraliser pour $n$ pair quelconque.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers