Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

On lance $n$ boules dans $N$ boîtes de manière indépendante. La probabilité qu'une boule tombe dans une boîte suit une loi uniforme.

1. On pose $Y_k$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules dans la boîte $k$, et $Z_k$ la variable aléatoire valant $0$ si la $k$-ième boîte est vide, et $1$ sinon. Déterminer les lois des variables $Y_k$ et $Z_k$.
2. Les $Z_k$ sont-elles mutuellement indépendantes ?
3. On pose $T_n$ la variable aléatoire comptant le nombre de boîtes contenant au moins une boule à l'issue de $n$ lancés. Calculer l'espérance de $T_n$.
4. Calculer $\displaystyle\lim_{N \to +\infty} \mathbb{E}(T_n)$ et interpréter le résultat.

$\ex 2$

Soit $A$ une partie infinie et bornée de $\mathbb{R}$.

On pose : $B = \{x \in \mathbb{R}, A\cap[x; +\infty[$ contient une infinité d'éléments$\}$.

1. Montrer que $B$ est un intervalle.
2. Donner, si elle(s) existe(nt) les bornes de $B$.

Il y avait une troisième question pour cet exercice.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers