Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé donné

Soit $(E,(.,.))$ un espace euclidien muni d'un produit scalaire. Soit $f$ une isométrie et on pose $g=f-\text{Id}_{E}$.

1. Montrer que $\text{Im}\ g = \left ( \text{Ker}\ g \right )^{\bot}$
2. On pose désormais $u_{n} = \frac{1}{n} \sum^{n-1}_{k=0}{f^{k}}$. Soit $y\in \text{Im} \ g$, montrer que $\lim_{n \to +\infty}{\left\| u_{n}(y) \right\|}=0$.
3. On note $A = \left ( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right )$ et $X = \left ( \begin{array}{c} x \\ y  \\ z \end{array} \right ) \in \mathbb{R}^{3}$. A est-elle diagonalisable ? Donner une base orthonormée de $\text{ker} \left ( A - I_{3} \right )$. Donner la limite de

$$\lim_{n \to +\infty}{\frac{1}{n}\left ( X+AX+A^{2}X+\cdots+A^{n-1}X \right )}$$

Commentaires divers

Un exercice plutôt intéréssant où il faut bien utiliser les propriétés des isométries pour arriver à un résultat rapidement. Voici quelques éléments de réponses :

Proposition de corrigé (éléments traités devant examinateur)

1. Une seulle inclusion a été traité; $\text{Im}\ g \subset \left ( \text{Ker}\ g \right )^{\bot}$

Soit $y\in \text{Im}\ g$.

     Soit donc $x\in E$ tel que $g(x) = y$. C'est à dire que $y = f(x)-x$. 

     But : Montrer que $\forall z \in \text{Ker}\ g$, $(z,y)=0$.

          Soit $z \in \text{Ker}\ g$, c'est à dire que $g(z)=0\Leftrightarrow f(z)=z$

          Comme $f$ est une isométrie, elle conserve le produit scalaire, ainsi,

$$(z,y)=(z,f(x)-x)=(z,f(x))-(z,x)=(f(z),f(x))-(z,x)=(z,x)-(z,x)=0$$

          Donc $y \in \left ( \text{Ker}\ g \right )^{\bot}$.

2. Non traité durant l'examin.

3. Déjà calculons $\chi_{A}$ :

$$\chi_{A} = \text{det} \left ( A-XI_{3}\right ) = \left | \begin{array}{ccc} -X & -1 & 0 \\ 1 & -X & 0 \\ 0 & 0 & 1-X \end{array} \right | = \left (1-X \right )  \left | \begin{array}{ccc} -X & -1 \\ 1 & -X  \end{array} \right |$$

D'où $\chi_{A} =  \left (1-X \right )  \left (X^{2} + 1 \right ) $. Donc la matrice est diagonalisable dans $\mathbb{C}$ mais pas dans $\mathbb{R}$.

Calculons $\left (A-I_{3} \right )X$,

$$\left (A-I_{3} \right )X = \left ( \begin{array}{ccc} -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x \\ y  \\ z \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} -x-y \\ x-y  \\ 0 \end{array} \right )$$

Donc,

$$\left (A-I_{3} \right )X =0 \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{c} -x-y=0 \\ x-y=0  \\ 0=0 \end{array} \right . \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{c} -x=y \\ x=y  \end{array} \right . \Leftrightarrow x=y=0$$

Ainsi une base de $\text{ker} \left ( A - I_{3} \right )$ est $e=\left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0  \\ 1 \end{array} \right )$. 

Fin nécéssitant la question 2 non traité en examin.