Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé donné

On considère un atome dont le noyau a pour charge $+Ze$ et que un electron de masse $m$ et de charge $-e$ orbite autour.

On considère que l'orbite est circulaire et que le moment cinétique s'écrit $\sigma = n \frac{h}{2\pi}$. Exprimer les niveaux d'énergies $E_{n}$ que peut prendre l'électron.

Commentaires divers

Il s'agit d'un exercise assez difficile à commencer. L'éxaminatrice m'a beaucoup aidé dans la direction à prendre. Il comporte également deux questions de plus que je n'ai pas traité. Cette première question est déjà assez conséquence et traiter le reste me semble ambitieux si ce n'est très délicat.

Proposition de corrigé (des éléments discutés avec l'éxaminatrice)

On peut commencer par justifer que la force de gravité est négligeable devant la force éléctrostatique et que le moment de cette force est nul (force centrale) donc par un théorème du moment cinétique, le moment cinétique est bien constant.

On peut également écrire que $\sigma = mr^{2} \omega$ avec $r$ le rayon d'orbite et $\omega$ la vitesse angulaire de l'électron.

Le but est de quantifier le rayon. On commence par écrire la force electrostatique,

$$\overrightarrow{F} = -\frac{Ze \times e}{4\pi \epsilon_{0}r^{2}}\overrightarrow{u_{r}}$$

Comme $\overrightarrow{OM} = r \overrightarrow{u_{r}}$, on note que $\overrightarrow{v} = r\dot{\theta} \overrightarrow{u_{\theta}}$ et donc que $\overrightarrow{a} = r\ddot{\theta} \overrightarrow{u_{\theta}} - r\dot{\theta}^{2} \overrightarrow{u_{r}}$. Et donc par un PFD :

$$m \left ( r\ddot{\theta} \overrightarrow{u_{\theta}} - r\dot{\theta}^{2} \overrightarrow{u_{r}} \right ) = -\frac{Ze \times e}{4\pi \epsilon_{0}r^{2}}\overrightarrow{u_{r}}$$

Puis en le projetant sur $\overrightarrow{u_{r}}$,

$$r\dot{\theta}^{2} = \frac{Ze \times e}{4\pi \epsilon_{0}mr^{2}}$$

Vu que $\dot{\theta}=\omega$,

$$\omega = \sqrt{\frac{Ze \times e}{4\pi \epsilon_{0}mr^{3}}}$$

Ainsi avec la formule du moment que on a trouvé plus tôt on a que,

$$\sigma = mr^{2} \omega = mr^{2} \sqrt{\frac{Ze \times e}{4\pi \epsilon_{0}mr^{3}}} = \sqrt{r\frac{Ze \times e}{4\pi \epsilon_{0}m}}$$

D'où, vu que $\sigma = n \frac{h}{2\pi}$,

$$n \frac{h}{2\pi} =  \sqrt{r\frac{Ze \times e}{4\pi \epsilon_{0}m}}$$

$$\Leftrightarrow r_{n} = n^{2} \left ( \frac{h}{2\pi} \right )^{2} \frac{4\pi \epsilon_{0}m}{Ze \times e} $$

Pour conclure il suffit d'exprimer l'énergie potentielle électrostatique et l'énergie cinétique et de les sommer (non fait ici).