Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Dans ce problème, on considère un polynôme unitaire $P=\sum_{k=0}^da_kX^k$.
On pose $Z=\{x\in \mathbb R,\ P(x)=0\}$ et
\[\forall (x,t)\in \mathbb R,\ M(x,t)=|P(x)|-\sum_{k=1}^d\frac{|P^{(k)}(x)}{k!}t^k\]
On pose alors pour $x\in \mathbb{R}$, $m(x)$ l'unique point d'annulation (on admet pour le moment son existence et son unicité) de $t\in \mathbb{R}^+\mapsto M(x,t))$.
On pose aussi
\[R=\max\left (1,\sum_{k=0}^{d-1}|a_k|\right )\]

1. Ecrire une fonction de calcul de $m(x)$ et tracer le graphe de $m$ sur $[-5,5]$ pour $P=(X^2-3)(X-1)^2$.
2. Une relation de récurrence à traduire en Python.
3. Montrer que que pour tout réel $x$, $t\mapsto M(x,t)$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^+$ et que $P(x)=0$ ssi $m(x)=0$.
4.Montrer que pour tous $x,y$ dans $\mathbb{R}$
\[|P(y)|\leq |P(x)|-\sum_{k=1}^d \frac{|P^{(k)}(x)|}{k!}|y-x|^k=M(x,|y-x|)\]
En déduire que si $|x-y|<m(x)$ et $P(x)\neq 0$, alors $P(y)\neq 0$ puis que pour tout $x$, $m(x)\leq d(x,Z)$.
5. On pose $x_0=\max\limits_{x\in Z}|x|$. Montrer que $x_0\leq R$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Aucune.

Commentaires divers

Les programmes pythons étaient longs à écrire pour une demi-heure de préparation donc mieux valait ne pas trop s'y attarder.

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