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Année : 2025
Filière : MP
Concours : CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Calcul d'une intégrale - Espaces préhilbertiens réels
Énoncé(s) donné(s)
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $]0,1[$ telles que $t\mapsto tf(t)$ soit de carré intégrable.
1. Montrer que l'application
$\begin{array}{ccl}E^2&\longrightarrow&\R\\ (f,g)&\longmapsto &\displaystyle\int_{0}^1 t^2 f(t)g(t)\,\mathrm dt \end{array}$
est un produit scalaire sur $E$.
2. Soit $f_{0}:t\mapsto 1,\, f_{1}:t\mapsto t $ et $F=\text{vect}(f_{0},f_{1})$. Donner une base orthonormée de $F$.
3. Donner la valeur de $a$ et $b$ pour que $\displaystyle\int_{0}^1 t^2(\ln t-at-b)^2\,\mathrm dt $ soit minimale.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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