Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $]0,1[$ telles que $t\mapsto tf(t)$ soit de carré intégrable.

1. Montrer que l'application

                                 $\begin{array}{ccl}E^2&\longrightarrow&\R\\ (f,g)&\longmapsto &\displaystyle\int_{0}^1 t^2 f(t)g(t)\,\mathrm dt \end{array}$                                                  

    est un produit scalaire sur $E$.

2. Soit $f_{0}:t\mapsto 1,\, f_{1}:t\mapsto t $  et  $F=\text{vect}(f_{0},f_{1})$. Donner une base orthonormée de $F$.

3. Donner la valeur de $a$ et $b$ pour que $\displaystyle\int_{0}^1 t^2(\ln t-at-b)^2\,\mathrm dt $ soit minimale.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers