Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $\varphi_0: x\mapsto \mathrm e^{-x^2}$.

1. Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynôme $H_n\in\R_n[X]$ tel que : 
                            $\forall x\in\R,\ \varphi_0^{(n)}(x)=(-1)^nH_n(x)\mathrm e^{-x^2}$
2. Montrer que :

                       $(P,Q)\mapsto (P|Q)=\displaystyle\int_0^{+\infty}P(x)Q(x)\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx$

définit un produit scalaire sur $\R[X]$.

3. a) Montrer que : $\forall n\in \N^*,\,\forall P\in\R[X],\ (H_n|P)=(H_{n-1}|P')$. 
    b) Montrer que $(H_n)_{n\in\N}$ forme une famille orthogonale. 
    c) Calculer $\|H_n\|^2$.

4.  On considère la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}\frac{t^n}{n!}H_n(x)$. 
    Nature et valeur éventuelle.

$\ex 2$

Dénombrer le nombre de parties $A$ de $[\![1,n]\!]$ ayant $p$ éléments et telles que : $\forall i\in [\![1,n-1]\!], i\in A\textrm{ ou } i+1\in A$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

• J'ai fait tout l'exercice 1 sans indication, sauf la dernière question où l'examinatrice m'a indiqué sur une série de Taylor.
• Je n'ai pas du tout compris l'exercice 2, l'examinatrice m'a alors guidé, je n'ai pas abouti par manque de temps.

Commentaires divers
Examinatrice très agréable et à l'écoute

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