Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$
On pose : $f(x)=\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-t}}t\,\mathrm dt$.

1. Montrer que $f$ est bien définie et $\mathcal C^0$ sur $]0,+\infty[$.
    Déterminer $f'$.

2.  a) Montrer que  :
                                      $\forall x>0,\ f(x)\leqslant \dfrac{\mathrm e^{-x}}x$.
     b) Montrer que

                       $\forall x>0,\ f(x)=-\mathrm e^{-x}\ln x+\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-t}\ln t\,\mathrm dt$.

     c) Montrer que $f$ est intégrable sur $][0,+\infty[$.

3. Calculer $\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)\,\mathrm dt$ à l'aide d'une intégration par parties.

$\ex 2$

Soit $A\in\mathfrak M_n(\R)$ telle que $A$ commute avec $A^\top$.

1. Montrer que $\operatorname{Ker}(A)=\operatorname{Ker}(A^\top)$.
2. Montrer que $\operatorname{Ker}(A)$ et $\operatorname{Ker}(A^\top)$ sont supplémentaires orthogonaux.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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