Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice avec préparation

Pour n dans $\mathbf{N^*}$ on définit: $$u_n:t \longrightarrow \frac{2t}{t^2 +n^2}$$ 

1. étudier les modes de convergence de $\sum u_n$
2. On note g la fonction somme, montrer sa continuité 
3. g est-elle de classe $C^1$ ? 
4. limite de g en +$\infty$ ? 

Exercice sans préparation 

Soit E un espace euclidien et $f$ endomorphisme de E tel que: $$\forall x \in E, ||f(x)|| \leq ||x||$$

1. montrer: $$\forall x \in E, (f(x)=x) \Rightarrow (f^*(x) = x) $$

2. Étudier la suite de terme general:  $$u_n = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}f^k$$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

- en notant $R_n$ le reste d'ordre n regarder $R_n(n)$ pour montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme sur tout le domaine de définition