Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$
Soit $a>0$ fixé. On pose $M=\begin{pmatrix}a &1&0\\a^2& 0&1\\a^3&0&0\end{pmatrix}\in\mathcal M_3(\R)$.

1. Montrer que $M$ admet une unique valeur propre réelle $r$.
    On pose, pour tout $n\in\N$, $s_n=\operatorname{tr}(M^n)$.

2. Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{s_n}{r^n}$.

$\ex 2$

On désigne par $(a_n)_{n\in\N}$ la suite des coefficients  du développement en série entière de $x\mapsto \sqrt {1-x}$ sur $\left]-1,1\right[$, soit :

                                   $\forall x\in\left]-1,1\right[,\ \sqrt {1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.

1. Déterminer $a_n$ pour tout $n\in\N$ et montrer que la série $\sum_{n\geqslant 0}a_n$ est convergente.

2.  En déduire que la fonction $x\mapsto \sqrt {1-x}$ est limite uniforme d'une suite de polynômes sur le segment $[-1,1]$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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