Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^{\top}=-A$.
1. Etudier l'inversibilité de $A+I_n$.
2. Montrer que $M=\left(A-I_n\right)\left(A+I_n\right)^{-1}$ est une matrice orthogonale. Le réel -1 peut-il être valeur propre de $M$ ?

Exercice 2
1. Soit $\left(A_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'évènements de l'espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.

Soit $A=\bigcap_{p \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \geq p} A_n$ l'évènement dont la réalisation signifie qu'une infinité des évènements $A_n$ sont réalisés.

On suppose la convergence de la série $\sum \mathbb{P}\left(A_n\right)$. Déterminer $\mathbb{P}(A)$.
2. Application : Soient $X$ et $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ des variables aléatoires réelles toutes définies sur l'espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.
On suppose que, pour tout $\varepsilon>0$, la série $\sum \mathbb{P}\left(\left|X_n-X\right|>\varepsilon\right)$ est convergente.
(a) Pour tout $\varepsilon>0$, on pose $B_{\varepsilon}=\bigcap_{n \in \mathbb{N}}\left(\bigcup_{k>n}\left\{\left|X_n-X\right|>\varepsilon\right\}\right)$ et $B=\bigcup_{p \in \mathbb{N}^*} B_{\frac{1}{p}}$.

Déterminer $\mathbb{P}(B)$.
(b) Montrer que : $\forall \omega \in \bar{B}, X_n(\omega) \xrightarrow[n \rightarrow+\infty]{ } X(\omega)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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