Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s) 

$\ex 1$

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ ; soit $\mathcal F=(e_1,\ldots ,e_n)$ une famille de vecteurs non nuls de $E$ telle que $$  \forall x\in E\quad \sum_{i=1}^n (e_i|x)^2 = \|x\|^2$$

1. Montrer que $\mathcal F$ est une famille génératrice de $E$.
2. La famille $\mathcal F$ est-elle une base orthonormée de $E$ ?

$\ex 2$

Soit $n\in\N^*$. Soit $U_n$ l'ensemble des polynômes de $\R[X]$ unitaires de degré $n$ et scindés sur $\R$. On se propose de démontrer que $U_n$ est un fermé de $\R_n[X]$.

1. Soit $P\in\R[X]$, unitaire de degré $n$. Montrer que $P$ est scindé sur $\R$ si et seulement si $$\forall z\in\C\quad |\mathrm{Im}(z)|^n\leqslant |P(z)|$$
2. Conclure.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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