Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit h la fonction définie par :

\[
h(x) = \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2}.
\]

Montrer que la fonction  h est prolongeable en une fonction de classe $C^1$ en  0.

Bonus : Montrer qu'elle est $C^{\infty}$ au voisinage de 0.

$\ex 2$

Soit A la matrice :

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

Déterminer sans calculs :

- l'image et le noyau de $A$ (exhiber une base) ;

- les espaces propres de $A$ (trouver les valeurs propres et une base pour chaque sous espace).

Bonus : diagonaliser $A$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour l'exercice 1, il suffit de montrer que h est développable en série entière en 0, car celles ci sont de classe C infini.

Pour l'exercice 2, il faut voir le calcul matriciel de A par un vecteur colonne sous la forme suivante :

\[
\begin{pmatrix}
C_1 & C_2 & C_3 & C_4 & C_5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c \\
d \\
e
\end{pmatrix}
= aC_1 + bC_2 + cC_3 + dC_4 + eC_5
\]

-Pour le noyau on peut prendre par exemple a = 1 et e = -1 et b = c = d =0. Avec le calcul précédent ce vecteur est bien dans le noyau. Il faut en déterminer 2 autres (on refait la même chose avec C2 et C3 puis C2 et C4).

-Pour les autres vecteurs propres, ceux ci sont dans l'image de A.

On va donc pouvoir les écrire comme combinaison linéaire de C1 et C2. (C1 + C2) est vecteur propre notamment, avec 4 comme valeur propre. La trace vaut 3 donc la dernière valeur propre est -1.

On détermine le sous espace associé à -1 de la même façon : (-2/3 * C1 + C2) est vecteur propre.

Commentaires divers

L'examinateur m'a demandé de citer le théorème de prolongement de classe C1 dont je ne me souvenais plus exactement des hypothèses.

Il m'a pas mal guidé pour faire l'exercice 2 sans calcul presque notamment avec le jeu des colonnes qui n'est pas évidant à voir.