Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

On pose :  $\forall n\in\N,\ a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{t^{n}}{2+t^{2}}\,\mathrm dt$  et  $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}$.

1. Montrer que $R$, rayon de convergence de $f$, est supérieur ou égal à $1$.
2. Calculer $f(x)$ pour $|x|<1$.
3. Montrer que $R=1$.

$\ex 2$

Soit $E$ un espace euclidien et $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que $\operatorname{Tr}u=0$.

1. Montrer qu'il existe $x\in E\setminus \{ 0 \} $ tel que $\langle u(x),x\rangle=0$.
2. Montrer qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ a une diagonale nulle.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 1: 
3. Utiliser Abel radial. 

Exercice 2 :
1. Prendre une base orthonormée de $E$, exprimer la trace de $u$ en fonction des $\langle u(e_i),e_i\rangle$. Montrer que les $\langle u(e_i),e_i\rangle$ ne peuvent pas être tous positifs ou tous négatifs, on peut donc prendre $i,j$ tels que l'un soit positif et l'autre soit negatif. Prendre un chemin entre $e_{i}$ et $e_{j}$, déduire l'existence de $x$ avec le TVI. 

2. Compléter $x$ pour former une base orthonormée de $E$, écrire $u$ dans cette matrice. Déduire que la trace de l'application de $u$ induit sur l'espace vectoriel formé par les vecteurs de base autres que $x$ est nulle. Conclure par récurrence. 

Commentaires divers
L'examinateur me laissait tellement pas le temps de réfléchir par moi-même qu'il a globalement fait le second exercice à ma place.