Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

On note $E$ l'espace vectoriel des applications continues de $[0;1]$ dans $\mathbb{R}$.
On pose: $\forall \:f\in E$, $N_{\infty}(f)=\sup\limits_{x\in[0;1]} |f(x)|$ et $N_1(f)=\displaystyle\int_0^1|f(t)| \text{d}t$.

1. 
   
   1. Démontrer que $N_{\infty}$ et $N_1$ sont deux normes sur $E$.
   2. Démontrer qu'il existe $k>0$ tel que, pour tout $f$ de $E$, $N_1(f)\leq k N_{\infty}(f)$.
   3. Démontrer que tout ouvert pour la norme $N_1$ est un ouvert pour la norme $N_{\infty}$.
2. Démontrer que les normes $N_1$ et $N_{\infty}$ ne sont pas équivalentes.

Il s'agit de l'exercice 37 de la banque.

$\ex 2$

Soit $a\in \R$. On définit $M\in \mathcal{M}_3(\R)$ telle que : \[ M=\begin{pmatrix} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&1+a \end{pmatrix} \]

1. Déterminer les conditions sur $a$ telles que $M$ soit inversible.
2. Déterminer les conditions sur $a$ telles que $M$ soit une matrice de projection.
   On fait cette hypothèse dans la suite de cette question.
   1. Déterminer $\ker(M)$ et $\im(M)$.
   2. Est-ce que le projecteur $p\in \mathcal{L}(\R^3)$ canoniquement associé à $M$ est un projecteur orthogonal ?
   3. La matrice $M$ est-elle diagonalisable ?
3. Discuter, selon les valeurs de $a\in \R$, de la diagonalisabilité de $M$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers