Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

1. Existence et calcul de : \[ \int_0^{+\infty} te^{-nt}{\rm d} t \]
2. Existence et calcul de : \[ \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\sqrt{t}}}{1-e^{-\sqrt{t}}}{\rm d} t \]

$\ex 2$

Soit $(e_1,e_2)$ une base de $\R^2$. Soit $p$ la projection sur ${\rm Vect}(e_1)$ parallèlement à ${\rm Vect}(e_1+e_2)$.

1. Ecrire la matrice $A$ de $p$ dans la base $(e_1,e_2)$.
2. Trouver les matrices $B\in \mathcal{M}_2(\R)$ telles que $BA-AB=B$.
    Soit $E$ une $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in \mathcal{L}(E)$. On pose, $\forall g \in \mathcal{L}(E)$ : \[ \phi_f(g)=f\circ g - g \circ f \] Soit$g\in \mathcal{L}(E)$ fixé tel que $\phi_f(g)= g$.
3. Montrer que $\forall k \in \N^\star$, $\phi_f(g^k)=k g^k$.
4. Montrer que $g$ est nilpotent.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers