Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$
On pose $ f(x,y)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{x^{2n}}{1+y^{2n}}.$
1. Donner l'ensemble de définition $\mathcal D$ de $f$ et le représenter graphiquement.
2. Déterminer les dérivées partielles de $f$.

$\ex 2$

Soit $A\in\mathfrak M_4(\C)$ et $k\in\N^*$ tel que $A^k=0$.

1. Montrer qu'il existe un unique $p\in\N^*$ tel que $A^p=0 ,\ A^{p-1}\neq 0$, puis que $p\leqslant 4$.
2.  On suppose $p=4$. Montrer que $A$ est semblable à

                                               $\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Question 2. b) : Considérer la famille $(A,AX,\dots,A^{p-1}X)$ avec $X$ tel que $A^{p-1}X\neq 0$.

Commentaires divers

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