Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\ex 1$
Pour tout $n \in \mathbb N^*$, on pose $I_n = \displaystyle \int_0^{+\infty} \left( 1 + \dfrac{x}{n} \right)^n \text{e}^{-2 x} \, \text{d}x$.

1. Pour tout $u > -1$, justifier la majoration $\ln(1 + u) \leqslant u$.

2. Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb N^*}$.

$\ex 2$

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$. Pour tout $n \in \mathbb N$, on pose

$$p_n = \mathbb{P}(X = n), \quad r_n = \mathbb{P}(X > n).$$

On note $G$ la fonction génératrice de $X$.

1. Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} r_n t^n$ vaut au moins $1$.
    Sa somme est notée $H$.

2. Pour tout $t \in \left]-1, 1\right[$, justifier l'égalité $H(t) = \dfrac{1 - G(t)}{1 - t}$.