Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\ex 1$

On considère $n$ droites vectorielles de $\mathbb R^d$. On suppose que les angles qu'elles forment deux par deux sont tous égaux.

Montrer alors l'inégalité $n \leqslant \dbinom{d+1}{2}$.

$\ex 2$

Montrer que le nombre $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} 2^{-2^n}$ est irrationnel.