Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $X$ une variable aléatoire bornée d'espérance nulle. Soit $(X_n)_{n\in\N^\ast}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que X. On pose $S_n = X_1 +\cdots + X_n$ pour tout $n\in\N^\ast$. Soit $a > 0$. 

1) Montrer pour tout $\lambda > 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ qu'on a :

$\mathbb{P}(|S_n| \geq a) \leq e^{-\lambda a}\left[ \left( \mathbb{E} \left( e^{\lambda X} \right) \right)^n + \left( \mathbb{E} \left( e^{-\lambda X} \right) \right)^n \right].$

2) Montrer qu'il existe $C> 0$ tel que pour tout $t \in [-1,1]$, on a 

$\mathbb{E} \left( e^{\lambda X} \right) \leq 1 + Ct^2$

3) Que pouvez vous dire de $\displaystyle{\bigcap_{n=1}^{+\infty} \bigcup_{i=n}^{+\infty} (S_{i} \geq a)}$ ?

4) Conclure.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Démonter moi l'inégalité de Markov, et donner un exemple de son application

Commentaires divers

Examinateur horrible, ne donnant aucun signe de vie pendant l'oral, sauf pour dire "c'est du cours".