Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On dispose de $n+1$ urnes numérotées de $1$ à $n+1$. Dans l'urne numéro $k$, il y a $n$ boules dont $k-1$ sont noires.

On choisit d'abord une urne (de façon équiprobable) puis on effectue des tirages avec remise dans cette urne. On note

• $U_k$ l'événement « on a choisi l'urne numéro k »,
• $X$ le rang de la première boule blanche tirée avec la convention $X=0$ si l'urne ne contient pas de boule blanche.

1. Donner $P(U_k)$.
2. Donner la loi de $X$ sachant $U_k$.
3. Calculer $P(X = 1)$.
4. Généraliser afin de déterminer $P(X=j)$ pour tout $j \in \mathbb N^*$.
5. Écrire en python une fonction $\texttt{X(n)}$ permettant de simuler les valeurs prises par $X$.
6. Écrire en python une fonction donnant une estimation de $E(X)$.

Commentaires divers

Exercice incomplet, la fin évoquait notamment le calcul de l'espérance.