Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On considère l'équation différentielle suivante :
\[
y'' = (x^4 - 1)y.
\]

1. Montrer que s’il existe une fonction $f$ solution de l’équation différentielle vérifiant $f(0) = f'(0) = 1$, alors cette fonction est unique.
    
2. On suppose que la fonction $x \mapsto \frac{1}{f(x)^2}$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$. On pose :
    \[
    g(x) = f(x) \int_x^{+\infty} \frac{1}{f(t)^2} \, dt.
    \]
 Montrer que $g$ est solution de l’équation différentielle.

3. Montrer que la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{f(x)^2}$ est bien intégrable sur $\mathbb{R}^+$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Je ne me souviens plus exactement de la 3e question, c'est très possible que ça ne soit pas ça.