Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Soient $X_1$ et $X_2$ des variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi Binomiale de paramètres $n$ et $\frac 1 2$, définies sur un espace probabilisé $\Omega$.

Soit $M$ définie par :

                                 $\forall\omega\in\Omega,\ \  M(\omega)= \left(\begin{array} &X_1(\omega)&1\\0&X_2(\omega) \end{array}\right) $

 1. En développant le polynôme $(1+X)^{2n}$, montrez que :

                                 $\displaystyle\sum^n_{k=0}\binom{n}{k} ^2= \binom{2n}{n}$

2. Exprimez la probabilité que $M$ soit diagonalisable.

$\blacktriangleright$ Question supplémentaire posée par l'examinateur :
Limite de cette probabilité lorsque $n$ tend vers l'infini.