Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé

Soit $x\in\mathbb C$ et $n\in\N^*$.  On considère la matrice $A_n\in\mathfrak M_n(\mathbb C)$ définie par :

$A_n=\begin{pmatrix}
1+x^2& x & 0  & \cdots & \cdots  &0\\
x & 1+x^2 & x& \ddots & &\vdots  \\
0  & x & \ddots &\ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots &\ddots &\ddots & \ddots& x& 0\\
\vdots &  & \ddots &x &1+x^2  &  x\\
0 & \cdots & \cdots & 0& x &  1+x^2\\
\end{pmatrix}$

On note $C_n=\det A_n$.

1. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$ : 

                               $C_{n+2}=(1+x^2)C_{n+1}-x^2C_n$.

2. Calculer les valeurs exactes de $C_1$ et $C_2$, puis déterminer $C_n$ pour tout $n\in\N^*$ .
    Discuter le résultat obtenu en fonction de $x$.

3. Étudier l'inversibilité de la matrice $A_n$ en fonction de la valeur de $x$.