Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $A$ une matrice symétrique réelle telle qu'il existe $k \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $A^k=I_n$. Montrer que $A^2=I_n$.

$\ex 2$

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3=-A$. Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière  $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \text{tr}\left(A^k\right)x^k$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour l'exercice 2, l'examinateur m'a demandé de réécrire la somme de la série entière en fonction du rang de A.

Commentaires divers
L’exercice 2 se généralise à toute matrice trigonalisable, la somme pouvant être calculée en fonction de son polynôme caractéristique.

• Oraux_Maths_IMT_2025.pdf