Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit u un endormorphisme de $\mathbb{R}^{2n+1}$ tel que $u^3=u$, $Tr(u)=0$ et $Tr(u^2)=2n$.

On définit $C(u)={\lbrace v\in \mathcal{L}(\mathbb R^{2n+1})/\ u\circ v = v\circ u\rbrace}$

1) u est-il diagonalisable ?

2) Déterminer les valeurs propres de u et les dimensions des sous espaces propres associés. Donner la matrice de u dans une base adaptée à sa diagonalisation. 

3) Déterminer la dimension de C(u).

4) Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $C(u) = \mathbb R[u]$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers