Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Pour tout $x > 0$, on considère une variable aléatoire $X_x$ de loi $\mathcal{P}(x)$.

1. Rappeler la valeur de $\mathbb{E}(X_x)$.

2. Pour tout $\alpha > 0$, prouver que $\mathbb{P}(| X_x - \mathbb{E}(X_x) | \geqslant \alpha x) = \mathcal{O}(1/x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

On fixe $s > 0$ et on pose $u_s : x \mapsto \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^s} \times \dfrac{x^n}{n!}$.

3. Déterminer l'ensemble de définition de $u_s$.

4. Montrer que $u_s(x)$ est équivalent à $\dfrac{\text{e}^x}{x^s}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.