Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 :

On fixe $x\in \R$

Soit $$ \forall n\in \N,\space I_n = \int^\pi_0\frac{\cos(nt) - \cos(nx)}{\cos(t) - \cos(x)} dt $$

1. Justifier l'existence de la suite $I_n$.

2. Établir une relation de récurrence d'ordre 2 sur $I_n$.

3. Calculer $I_n$.

Exercice 2 :

Soit $p$ un nombre premier et $q = (p^2 - p)(p^2 - 1)$

1. Calculer le Cardinal de $\text{GL}_2(\Z/p\Z)$

2. Montrer que $\forall A\in \mathcal{M}_2(\Z/p\Z), \space A^{q + 2} = A^2$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 1 :

Étudier $I_{n+1} - I_{n-1}$.

Exercice 2 :

• Ne pas passer par le déterminant.
• Que peut-on dire de l'image d'une base par un automorphisme ?

Commentaires divers

L'exercice 2 comporte deux autres questions dont je ne me souvient du contenu.

L'examinateur, quant à lui, était calme et respectueux. Il acceptait d'aider lorsque les idées ne venaient pas.