Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1
Soit $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb R)$. On note $B=\begin{pmatrix}0_n&2A\\-A&3A\end{pmatrix}$.
1. Montrer que $\begin{pmatrix}0&2\\-1&3\end{pmatrix}$ est diagonalisable. A l'oral, il a été demandé de trouver une base de vecteurs propres.
2. Montrer que $B$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est.

Exercice 2
Soit $f\ :\ x\mapsto \sum_{n=1}^\infty e^{-x\sqrt{n}}$.
1. Trouver l'ensemble de définition de $f$.
2. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur cet ensemble.
Il y avait d'autres questions.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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