Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$ 

Soit $f$ un endomorphisme de $\R^3$ tel que $ f+ f^{3} = 0 $ et $ f\neq 0$.

On note $A$ sa matrice associée.

1. Montrer que $A$ n'est pas inversible.
2. Montrer que $ \R^3 = \operatorname{Ker}(f) \oplus  \operatorname{Ker}(f^{2} + \mathrm{Id})$.
3.  ?

$\ex 2$

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $ X\sim P(\lambda)$.

Calculer :

1. $E(X-\lambda)$.
2.  $E(|X-\lambda|)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 1

1. Montrer que $0$ est valeur propre de $f$.

Commentaires divers