Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $M_a=\begin{pmatrix}
0 & 0 & a \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}$. 

1.  a) Déterminer le polynôme caractéristique $\chi_a$ de $M_a$.

     b) Effectuer la division euclidienne de $3\chi_a$ par $\chi_a'$.

     c) $M_a$ est-elle diagonalisable sur $\C$ ?

2. On suppose que $\lambda$ est une valeur propre complexe de $M_a$ telle que $| \lambda |>1$.

    a) Montrer que $|a|> \dfrac{| \lambda |}{1 + | \lambda |}> \dfrac{1}{2}$.

    b) Montrer que $(M_a)^n$ tend vers 0 pour $a$ suffisamment petit.

$\ex 2$

On tire 5 cartes dans un jeu de 32 cartes. Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de rois piochés (il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes).

1.  Déterminer la loi de probabilité de $X$.

2. En admettant la formule de Vandermonde, déterminer l'espérance de $X$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 1 

1. c) : utiliser le lien entre les racines d'un polynome et de sa dérivée dans le cas de racines multiples

2. b)  : utiliser la contraposée d'une question précédente

Commentaires divers

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