Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1. Soit $f:\Omega\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

    a) Rappeler la définition de «$f$ est bornée sur $\Omega$».

    b) Rappeler la définition de «$f$ admet un maximum sur $\Omega$».

2. Pour tout $z\in\mathbb{C}$, on pose $s(z)=\dfrac{\mathrm e^{iz}-\mathrm e^{-iz}}{2i}$  et  $\varphi(z)=|s(z)|^2$.

    a) $\varphi$ est-elle bornée ?

    $\blacktriangleright$ On pose $D=\left\{ z\in \mathbb{C} : |z| \leqslant1 \right\}$.

    b) Montrer que $\varphi$ est bornée sur $D$.

    c) Montrer que $\varphi$ atteint son maximum sur $D$ en exactement deux points.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers